Калькулятор арифметичної прогресії
n-й член і сума арифметичної прогресії за першим членом і різницею.
Заповніть поля, і результат автоматично зʼявиться тут.
Знаходить n-й член і суму перших n членів за першим членом a₁ та сталою різницею d. Від’ємна різниця задає спадну послідовність, нульова — сталу. Номер має бути цілим від 1 до 9007199254740991. Таблиця показує перші десять членів, а член і сума стосуються всіх n. Замкнені формули не потребують перебору великого ряду; проміжні двійкові добутки й суми зберігаються до остаточного округлення результату.
Як працює
Формула і логіка
n-й член дорівнює aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сума перших n членів дорівнює Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, тобто кількість членів на півсуму першого й останнього. Таблиця показує перші десять членів, але n-й член і сума стосуються повного ряду.
Приклад
За a₁ = 3 і d = 5 десятий член дорівнює 48, а сума перших десяти членів — 255. Перевірити легко: 10 · (3 + 48)/2 = 255.
Поля й одиниці
- Перший член a₁ — без одиниці
- Різниця d — без одиниці
- Номер члена n — без одиниці
Як користуватися
- — Введіть перший член прогресії.
- — Введіть різницю — на скільки кожен наступний член більший за попередній.
- — Укажіть номер члена, який вас цікавить.
- — Для спадного ряду задайте від’ємну різницю.
Методика та обмеження
- Методика розрахунку
- Формула і логіка
- Джерело даних або норми
- OpenStax: стала різниця та формула n-го члена арифметичної прогресії OpenStax: скінченні суми прогресій і нескінченна геометрична сума за |r| < 1
- Обмеження
- a₁ і d мають бути скінченними. Переповнення або втрата ненульового члена чи суми через округлення до нуля дають помилку, зокрема для членів таблиці. Малі й великі величини мають науковий запис; відображення округлене.
FAQ
Чим арифметична прогресія відрізняється від геометричної?
В арифметичній прогресії додають сталу різницю, у геометричній множать на стале відношення. Геометрична послідовність не обов’язково зростає: за a₁ > 0 і 0 < r < 1 вона спадає.
Чи можна задати від’ємну різницю?
Так, і це звичайний випадок спадного ряду. За a₁ = 100 і d = −7 п’ятнадцятий член дорівнює 2, а сума п’ятнадцяти членів — 765.
Чому сума рахується формулою, а не додаванням?
Формула Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 не потребує додавання n членів у циклі. Проміжна двійкова арифметика тут точна, а кожен числовий результат округлюється наприкінці. Довільний десятковий ввід і показані цифри все одно мають скінченну точність.
Що буде, якщо різниця дорівнює нулю?
Ряд стане сталим: усі члени дорівнюють першому, а сума — це перший член, помножений на їхню кількість. Формули при цьому працюють без застережень.
Чому в таблиці лише десять членів?
Закономірність видно вже на перших трьох, а сотні рядків нічого не додали б. При цьому n-й член і сума пораховані для повного ряду, а не для показаного відрізка.