Калькулятор еліпса
Площа, наближений периметр, ексцентриситет і фокуси еліпса за півосями.
Заповніть поля, і результат автоматично зʼявиться тут.
Еліпс задається двома додатними півосями. Площа S = πab, ексцентриситет і фокуси описують його геометрію, а периметр тут оцінюється першим наближенням Рамануджана. Похибка моделі відокремлена від округлення й не зникає від додавання десяткових знаків. Рівні півосі дають круг; для сильно витягнутого еліпса наближення менш точне. Порядок півосей не важливий: більша обирається автоматично.
Як працює
Формула і логіка
Площа дорівнює S = πab. Периметр береться за наближенням Рамануджана π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Ексцентриситет e = √(1 − b²/a²) рахується від більшої півосі, а відстань між фокусами дорівнює 2√(a² − b²).
Приклад
Еліпс із півосями 5 і 3 см має площу 47,124 см², периметр 25,527 см та ексцентриситет 0,8. Відстань між його фокусами дорівнює 8 см.
Поля й одиниці
- Одиниця довжини — варіант зі списку
- Піввісь a — см
- Піввісь b — см
Як користуватися
- — Виберіть одиницю довжини.
- — Введіть обидві півосі — це половини осей, а не самі осі.
- — Порядок не має значення: більша піввісь визначається сама.
- — Рівні півосі дадуть круг.
Методика та обмеження
- Методика розрахунку
- Формула і логіка
- Джерело даних або норми
- Рамануджан, 1914: перше наближення периметра еліпса NIST DLMF: точна довжина еліпса через еліптичний інтеграл OpenStax: площа простої замкненої області через межу
- Обмеження
- Площа й фокусні формули стосуються ідеального еліпса з a,b > 0; периметр наближений. Для майже виродженої форми округлений ексцентриситет може виглядати як 1. Зміна одиниці переозначує числа, а не переводить їх.
FAQ
Чому периметр рахується наближено?
Точний периметр дорівнює 4aE(e), де E — повний еліптичний інтеграл другого роду. Тут збережена перша формула Рамануджана. Для a = 5, b = 3 вона дає 25,5269864 замість 25,5269989: відносна похибка близько 0,00004885 %. Для 99 та 1 похибка вже близько 0,3414 %. Універсальної гарантії 10⁻⁵ % ця формула не має.
Що показує ексцентриситет?
Наскільки еліпс витягнутий. Нуль — це круг, значення близько 0,8 — помітно витягнута фігура, а наближення до одиниці означає майже вироджений відрізок.
Піввісь — це те саме, що вісь?
Ні, піввісь удвічі менша за вісь: це відстань від центра до краю, а не від краю до краю. Ввід осей замість півосей завищить площу вчетверо.
Що таке фокуси еліпса?
Дві точки на більшій осі, для яких сума відстаней до будь-якої точки еліпса однакова. На цій властивості ґрунтується спосіб накреслити еліпс ниткою, натягнутою між двома цвяхами.
Що буде, якщо півосі рівні?
Вийде круг: площа стане πa², ексцентриситет — нулем, а фокуси зійдуться в центрі. Наближення Рамануджана при цьому дає рівно 2πa.