Калькулятор эллипса
Площадь, приближённый периметр, эксцентриситет и фокусы эллипса по полуосям.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Эллипс задаётся двумя положительными полуосями. Площадь S = πab, эксцентриситет и фокусы описывают его геометрию, а периметр здесь оценивается первым приближением Рамануджана. Это отдельная погрешность модели, которую нельзя устранить добавлением знаков после запятой. Равные полуоси дают круг; при сильно вытянутом эллипсе приближение менее точное. Порядок полуосей не влияет на результат: большая выбирается автоматически.
Как считается
Формула и логика
Площадь S = πab. Периметр берётся по приближению Рамануджана π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]. Эксцентриситет e = √(1 − b²/a²) считается от большей полуоси, расстояние между фокусами 2√(a² − b²).
Пример
У эллипса с полуосями 5 и 3 см площадь равна 47,124 см², периметр — 25,527 см, эксцентриситет — 0,8.
Поля и единицы
- Единица длины — вариант из списка
- Полуось a — см
- Полуось b — см
Как пользоваться
- — Выберите единицу длины.
- — Введите обе полуоси — это половины осей, а не сами оси.
- — Порядок не важен: большая определяется сама.
- — Равные полуоси дадут круг.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- Рамануджан, 1914: первое приближение периметра эллипса NIST DLMF: точная длина эллипса через эллиптический интеграл OpenStax: площадь простой замкнутой области через границу
- Ограничение
- Площадь и фокусные формулы относятся к идеальному эллипсу с a,b > 0; периметр — приближение. При почти вырожденной форме эксцентриситет после округления может выглядеть как 1. Смена единицы переобозначает числа, а не переводит их.
FAQ
Почему периметр считается приближённо?
Точный периметр равен 4aE(e), где E — полный эллиптический интеграл второго рода. Здесь сохранена первая формула Рамануджана. Для a = 5, b = 3 она даёт 25,5269864 вместо 25,5269989: относительная ошибка около 0,00004885 %. Для 99 и 1 ошибка уже около 0,3414 %. Универсальной гарантии 10⁻⁵ % у этой формулы нет.
Что показывает эксцентриситет?
Насколько эллипс вытянут. Нуль — это круг, значения около 0,8 — заметно вытянутая фигура, а приближение к единице означает почти вырожденный отрезок.
Полуось — это то же, что ось?
Нет, полуось вдвое меньше оси: это расстояние от центра до края, а не от края до края. Ввод осей вместо полуосей завысит площадь вчетверо.
Что такое фокусы эллипса?
Две точки на большей оси, для которых сумма расстояний до любой точки эллипса одинакова. На этом свойстве основан способ вычертить эллипс ниткой, натянутой между двумя гвоздями.
Что будет, если полуоси равны?
Получится круг: площадь станет πa², эксцентриситет — нулём, а фокусы сойдутся в центре. Приближение Рамануджана при этом даёт ровно 2πa.