Ellipsenrechner
Fläche, genäherter Umfang, Exzentrizität und Brennpunkte einer Ellipse aus Halbachsen.
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Eine Ellipse wird durch zwei positive Halbachsen festgelegt. Fläche S = πab, Exzentrizität und Brennpunkte beschreiben ihre Geometrie; der Umfang wird hier mit Ramanujans erster Näherung geschätzt. Deren Modellfehler ist unabhängig vom Runden und verschwindet nicht durch mehr Dezimalstellen. Gleiche Halbachsen ergeben einen Kreis; bei stark gestreckten Ellipsen ist die Näherung weniger genau. Die größere Halbachse wird automatisch gewählt.
So funktioniert es
Formel und Logik
Fläche S = πab. Der Umfang nutzt die Näherung von Ramanujan π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]. Die Exzentrizität e = √(1 − b²/a²) wird von der größeren Halbachse genommen, und der Abstand der Brennpunkte ist 2√(a² − b²).
Beispiel
Eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3 cm hat eine Fläche von 47,124 cm², einen Umfang von 25,527 cm und eine Exzentrizität von 0,8.
Felder und Einheiten
- Längeneinheit — Auswahl aus der Liste
- Halbachse a — cm
- Halbachse b — cm
So wird gerechnet
- — Wähle die Längeneinheit.
- — Trage beide Halbachsen ein — Hälften der Achsen, nicht die Achsen selbst.
- — Die Reihenfolge spielt keine Rolle: die größere wird erkannt.
- — Gleiche Halbachsen ergeben einen Kreis.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- Ramanujan, 1914: erste Näherung des Ellipsenumfangs NIST DLMF: exakte Ellipsenlänge mit einem elliptischen Integral OpenStax: Fläche eines einfachen geschlossenen Gebiets aus dem Rand
- Einschränkung
- Fläche und Brennpunktformeln gelten für eine ideale Ellipse mit a,b > 0; der Umfang ist genähert. Bei fast entarteten Formen kann die gerundete Exzentrizität als 1 erscheinen. Eine neue Einheit bezeichnet die Zahlen anders, ohne sie umzurechnen.
FAQ
Warum ist der Umfang genähert?
Der genaue Umfang ist 4aE(e), wobei E das vollständige elliptische Integral zweiter Art ist. Hier bleibt Ramanujans erste Formel erhalten. Bei a = 5, b = 3 liefert sie 25,5269864 statt 25,5269989, etwa 0,00004885 % relativen Fehler. Bei 99 und 1 sind es ungefähr 0,3414 %. Eine allgemeine 10⁻⁵-%-Garantie gilt für diese Formel nicht.
Was sagt mir die Exzentrizität?
Wie gestreckt die Ellipse ist. Null ist ein Kreis, Werte um 0,8 sind sichtbar länglich, und nahe eins ist die Form beinahe eine flache Strecke.
Ist eine Halbachse dasselbe wie eine Achse?
Nein, eine Halbachse ist die halbe Achse: der Abstand von der Mitte zum Rand und nicht von Rand zu Rand. Achsen statt Halbachsen einzutragen setzt die Fläche um das Vierfache zu hoch an.
Was sind die Brennpunkte einer Ellipse?
Zwei Punkte auf der großen Achse, für die die Summe der Abstände zu jedem Punkt der Kurve gleich bleibt. Genau diese Eigenschaft lässt eine Ellipse mit einer Schnur um zwei Nadeln zeichnen.
Was passiert bei gleichen Halbachsen?
Du bekommst einen Kreis: die Fläche wird πa², die Exzentrizität ist null, und die Brennpunkte treffen sich in der Mitte. Die Näherung von Ramanujan liefert dort genau 2πa.