Калькулятор довірчого інтервалу
Довірчий інтервал для середнього за обсягом вибірки, відхиленням і рівнем довіри.
Заповніть поля, і результат автоматично зʼявиться тут.
Будує двосторонній нормальний Z-інтервал для середнього: x̄ ± z·σ/√n. Для незалежних спостережень із нормальної сукупності метод передбачає відоме стандартне відхилення σ. Підстановка вибіркового s дає нормальне наближення, а не точний інтервал Стьюдента для малої вибірки. За незмінного відхилення звуження інтервалу вдвічі потребує вчетверо більшого n. Рівень довіри характеризує повторювану процедуру й не гарантує, що конкретний інтервал містить істинне середнє.
Як працює
Формула і логіка
SE = σ/√n; E = z·SE; межі = x̄ − E та x̄ + E. Тут z = 1,645 для 90 %, 1,96 для 95 % і 2,576 для 99 % — збережені округлені нормальні квантилі. α = 1 − рівень довіри; половина α припадає на кожен хвіст. Калькулятор приймає ціле n від 2 до 9007199254740991 та σ ≥ 0. Середнє, σ, SE, E і межі мають однакову одиницю даних; z і α безрозмірні. Якщо ненульова ширина не розрізняється в числовому поданні меж, повертається помилка діапазону. Розрізнювані вузькі межі показуються з додатковими значущими цифрами.
Приклад
Середнє 100 за відхилення 15 і вибірки 36 дає інтервал 95,1 … 104,9 на рівні 95 %. Щоб звузити його вдвічі, знадобилося б 144 спостереження замість 36.
Поля й одиниці
- Вибіркове середнє — од. даних
- Стандартне відхилення — од. даних
- Обсяг вибірки — без одиниці
- Рівень довіри — варіант зі списку
Як користуватися
- — Введіть вибіркове середнє — воно може бути й від’ємним.
- — Укажіть відоме σ або свідомо вибране наближення з вибірковим s; одиниця та сама, що й у середнього.
- — Задайте обсяг вибірки: він має бути не меншим за два.
- — Виберіть рівень довіри — що він вищий, то ширший інтервал.
Методика та обмеження
- Методика розрахунку
- Формула і логіка
- Джерело даних або норми
- NIST: нормальний інтервал середнього з відомим σ та повторне покриття NIST: невідоме σ потребує t-методу; межа нормального наближення
- Обмеження
- Для незалежних спостережень із нормальної сукупності метод передбачає відоме стандартне відхилення σ. Підстановка вибіркового s дає нормальне наближення, а не точний інтервал Стьюдента для малої вибірки.
FAQ
Чому вибірку треба збільшувати вчетверо?
Бо в знаменнику стоїть корінь з обсягу. Щоб зменшити стандартну похибку вдвічі, корінь має вирости вдвічі, а сам обсяг — учетверо. Це головна причина, чому точні опитування дорогі.
Що означає рівень 95 %?
Що за багаторазового повторення вибірки приблизно 95 % таких інтервалів накриють істинне середнє. Це властивість процедури, а не твердження про конкретний інтервал.
Чому вищий рівень дає ширший інтервал?
Бо росте критичне значення: з 1,96 для 95 % до 2,576 для 99 %. Більша впевненість купується меншою точністю — інакше й бути не може.
Чому взято нормальний розподіл, а не Стьюдента?
Ні. За невідомого σ і нормальних даних точний метод використовує s та квантиль t з n−1 ступенями свободи. Тут рахується Z-інтервал із відомим σ або явно вибране нормальне наближення з s. Для малої вибірки різниця не обов’язково мала.
Чому вибірка з одного спостереження відхиляється?
Калькулятор обмежений n ≥ 2. За одним спостереженням вибіркове s не оцінити, але за відомого ззовні σ нормальна формула математично існує й для n = 1. Це межа продукту, а не заборона всіх таких інтервалів.
Чи можна задати нульове відхилення?
Формально так: σ = 0 дає SE = E = 0 та точковий інтервал. Однакові спостереження й вибіркове s = 0 самі собою не доводять нульову дисперсію сукупності або достовірність точкового висновку.