Калькулятор доверительного интервала
Доверительный интервал для среднего по объёму выборки, отклонению и уровню доверия.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Строит двусторонний нормальный Z-интервал для среднего: x̄ ± z·σ/√n. Для независимых наблюдений из нормальной совокупности этот метод предполагает известное стандартное отклонение σ. Если вместо него подставить выборочное s, получится нормальное приближение, а не точный интервал Стьюдента для малой выборки. Ширина зависит от стандартной ошибки среднего: при неизменном отклонении уменьшение ширины вдвое требует увеличить n вчетверо. Уровень доверия описывает повторяемую процедуру, а не гарантирует истинное среднее внутри конкретного интервала.
Как считается
Формула и логика
SE = σ/√n; E = z·SE; границы = x̄ − E и x̄ + E. Здесь z = 1,645 для 90 %, 1,96 для 95 % и 2,576 для 99 % — сохранённые округлённые нормальные квантили. α = 1 − уровень доверия; половина α относится к каждому хвосту. Калькулятор принимает целое n от 2 до 9007199254740991 и σ ≥ 0. Среднее, σ, SE, E и границы имеют одинаковую единицу данных; z и α безразмерны. Если ненулевая ширина неразличима при числовом представлении границ, возвращается ошибка диапазона. Различимые узкие границы показываются с дополнительными значащими цифрами.
Пример
Среднее 100 при отклонении 15 и выборке 36 даёт интервал 95,1 … 104,9 на уровне 95 %.
Поля и единицы
- Выборочное среднее — ед. данных
- Стандартное отклонение — ед. данных
- Объём выборки — без единицы
- Уровень доверия — вариант из списка
Как пользоваться
- — Введите выборочное среднее — оно может быть и отрицательным.
- — Укажите известное σ или осознанно выбранное приближение с выборочным s; единица та же, что у среднего.
- — Задайте объём выборки: он должен быть не меньше двух.
- — Выберите уровень доверия — чем он выше, тем шире интервал.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- NIST: нормальный интервал среднего с известным σ и повторное покрытие NIST: неизвестное σ требует t-метода; граница нормального приближения
- Ограничение
- Для независимых наблюдений из нормальной совокупности этот метод предполагает известное стандартное отклонение σ. Если вместо него подставить выборочное s, получится нормальное приближение, а не точный интервал Стьюдента для малой выборки.
FAQ
Почему объём выборки входит через корень?
Потому что усреднение снижает разброс пропорционально корню из числа наблюдений. Чтобы сузить интервал вдвое, выборку нужно увеличить вчетверо.
Используется ли распределение Стьюдента?
Нет. При неизвестном σ и нормальных данных точный метод использует s и квантиль t с n−1 степенями свободы. Здесь рассчитывается Z-интервал: известное σ либо явно выбранное нормальное приближение с s. Для малой выборки разницу нельзя считать обязательно небольшой.
Почему выборка из одного наблюдения отклоняется?
Это ограничение данного калькулятора: n ≥ 2. По одному наблюдению выборочное s действительно не оценить, но при внешне известном σ нормальная формула математически существует и для n = 1. Отказ здесь не означает, что любой такой интервал невозможен.
Что означает уровень доверия 95 %?
Что при многократном повторении опыта примерно 95 % таких интервалов накрыли бы истинное среднее. Это свойство метода, а не вероятность для одного конкретного интервала.
Можно ли задать нулевое отклонение?
Формально да: подстановка σ = 0 даёт SE = E = 0 и точечный интервал. Однако одинаковые наблюдения и выборочное s = 0 сами по себе не доказывают нулевую дисперсию совокупности или достоверность точечного вывода.