Rechner für das Konfidenzintervall
Konfidenzintervall für einen Mittelwert aus Stichprobenumfang, Standardabweichung und Konfidenzniveau.
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Berechnet ein zweiseitiges normales Z-Intervall für den Mittelwert: x̄ ± z·σ/√n. Bei unabhängigen Beobachtungen aus einer normalverteilten Population setzt die Methode die bekannte Populationsstandardabweichung σ voraus. Wird stattdessen die Stichprobenabweichung s eingesetzt, entsteht eine Normalapproximation und kein exaktes Student-t-Intervall für kleine Stichproben. Bei fester Abweichung erfordert die halbe Breite ein viermal so großes n. Das Konfidenzniveau beschreibt wiederholte Anwendungen des Verfahrens, keine Garantie für dieses einzelne Intervall.
So funktioniert es
Formel und Logik
SE = σ/√n; E = z·SE; die Grenzen sind x̄ − E und x̄ + E. Verwendet werden die bisherigen gerundeten Normalquantile z = 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. α = 1 − Konfidenzniveau wird gleich auf beide Verteilungsschwänze aufgeteilt. Zulässig sind ganzzahlige n von 2 bis 9007199254740991 und σ ≥ 0. Mittelwert, σ, SE, E und Grenzen haben dieselbe Dateneinheit; z und α sind dimensionslos. Ist eine Breite ungleich null in den numerischen Grenzen nicht auflösbar, erscheint ein Bereichsfehler. Auflösbare schmale Grenzen werden mit zusätzlichen signifikanten Stellen dargestellt.
Beispiel
Ein Mittelwert von 100 mit einer Abweichung von 15 über eine Stichprobe von 36 ergibt 95,1 … 104,9 auf dem Niveau von 95 %.
Felder und Einheiten
- Mittelwert der Stichprobe — Dateneinheit
- Standardabweichung — Dateneinheit
- Stichprobenumfang — ohne Einheit
- Konfidenzniveau — Auswahl aus der Liste
So wird gerechnet
- — Trage das Stichprobenmittel ein — es darf negativ sein.
- — Gib bekanntes σ oder bewusst als Näherung verwendetes s in derselben Einheit wie den Mittelwert ein.
- — Trage den Stichprobenumfang ein; er muss mindestens zwei betragen.
- — Wähle das Konfidenzniveau — ein höheres Niveau ergibt ein breiteres Intervall.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- NIST: normales Mittelwertintervall bei bekanntem σ und wiederholte Überdeckung NIST: t-Verfahren bei unbekanntem σ; Grenze der Normalapproximation
- Einschränkung
- Bei unabhängigen Beobachtungen aus einer normalverteilten Population setzt die Methode die bekannte Populationsstandardabweichung σ voraus. Wird stattdessen die Stichprobenabweichung s eingesetzt, entsteht eine Normalapproximation und kein exaktes Student-t-Intervall für kleine Stichproben.
FAQ
Warum geht der Stichprobenumfang über eine Wurzel ein?
Weil Mitteln die Streuung im Verhältnis zur Wurzel der Zahl der Beobachtungen senkt. Das Intervall zu halbieren braucht die vierfache Stichprobe.
Wird die t-Verteilung verwendet?
Nein. Bei unbekanntem σ und normalverteilten Daten verwendet das exakte Verfahren s und ein t-Quantil mit n−1 Freiheitsgraden. Hier wird ein Z-Intervall mit bekanntem σ oder eine ausdrücklich gewählte Normalapproximation mit s berechnet. Der Unterschied bei kleinen Stichproben muss nicht gering sein.
Warum wird eine Stichprobe von eins abgewiesen?
Dieser Rechner verlangt n ≥ 2. Aus einer Beobachtung lässt sich s nicht schätzen; bei extern bekanntem σ ist die Normalformel mathematisch auch für n = 1 definiert. Die Produktgrenze bedeutet nicht, dass jedes solche Intervall unmöglich wäre.
Was bedeutet ein Konfidenzniveau von 95 %?
Dass über wiederholte Versuche hinweg rund 95 % solcher Intervalle den wahren Mittelwert enthielten. Es ist eine Eigenschaft des Verfahrens und keine Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Intervall.
Darf die Abweichung null sein?
Formal ja: σ = 0 ergibt SE = E = 0 und ein Punktintervall. Gleiche beobachtete Werte und s = 0 belegen für sich weder eine Populationsvarianz von null noch Gewissheit über den Populationsmittelwert.