Калькулятор системи лінійних рівнянь
Розв’язує систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за правилом Крамера.
Заповніть поля, і результат автоматично зʼявиться тут.
Знаходить єдину пару x, y для системи a₁x + b₁y = c₁ та a₂x + b₂y = c₂ правилом Крамера. Якщо в кожному рівнянні є ненульовий коефіцієнт при x або y, геометрично це перетин двох прямих. Нульовий рядок може замість прямої задавати тотожність або суперечність. За Δ = 0 єдиної пари немає: калькулятор зупиняється, не розрізняючи відсутність розв’язків та нескінченну множину.
Як працює
Формула і логіка
Δ = a₁b₂ − a₂b₁, Δx = c₁b₂ − c₂b₁, Δy = a₁c₂ − a₂c₁. За Δ ≠ 0: x = Δx/Δ та y = Δy/Δ. За Δ = 0 формули Крамера не дають єдину пару; для класифікації системи потрібен інший метод. Нульові коефіцієнти допустимі та вводяться явно, а не порожнім полем.
Приклад
Для 2x + 3y = 13 і 4x − y = 5 визначник дорівнює −14, а розв’язок — x = 2, y = 3. Підстановка сходиться в обох рівняннях.
Поля й одиниці
- a₁ — коефіцієнт при x у першому рівнянні — без одиниці
- b₁ — коефіцієнт при y у першому рівнянні — без одиниці
- c₁ — права частина першого рівняння — без одиниці
- a₂ — коефіцієнт при x у другому рівнянні — без одиниці
- b₂ — коефіцієнт при y у другому рівнянні — без одиниці
- c₂ — права частина другого рівняння — без одиниці
Як користуватися
- — Зведіть обидва рівняння до вигляду ax + by = c.
- — Введіть коефіцієнти першого рівняння: a₁, b₁ і c₁.
- — Введіть коефіцієнти другого рівняння: a₂, b₂ і c₂.
- — Відсутня невідома — це коефіцієнт нуль, а не порожнє поле.
Методика та обмеження
- Методика розрахунку
- Формула і логіка
- Джерело даних або норми
- OpenStax: правило Крамера для двох рівнянь за ненульового визначника
- Обмеження
- Приймаються скінченні коефіцієнти, зокрема від’ємні та десяткові. Визначники обчислюються з двійкового подання введених чисел, результат округлюється. Малі ненульові значення показуються в науковому записі. Неподаний Δ, x або y дає помилку діапазону. Майже залежна система чутлива до похибки вихідних коефіцієнтів; більше цифр на екрані не усуває цієї чутливості.
FAQ
Що означає нульовий визначник?
За Δ = 0 єдиної пари x, y немає. Можлива відсутність розв’язків або нескінченна множина; ця модель не розрізняє їх. Паралельні чи збіжні прямі описують лише випадок, коли кожен ряд справді задає пряму. Ряд 0x + 0y = c може бути тотожністю або суперечністю.
Чому обрано правило Крамера?
Для двох рівнянь правило Крамера дає x та y через три визначники й одразу показує умову єдиності Δ ≠ 0. Підстановка або виключення дають той самий математичний результат і можуть класифікувати вироджений випадок.
Як звести систему до вигляду ax + by = c?
Перенесіть невідомі ліворуч, числа праворуч і зведіть подібні. Рівняння 3x = 2y + 7 стане 3x − 2y = 7, тобто a = 3, b = −2, c = 7.
Що вводити, якщо в рівнянні немає однієї невідомої?
Нуль як її коефіцієнт. Рівняння 5y = 10 — це 0·x + 5·y = 10, а не рівняння з порожнім полем.