Rechner für lineare Gleichungssysteme
Löst ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten nach der Regel von Cramer.
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Bestimmt mit der Cramerschen Regel das eindeutige Paar x, y für a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂. Hat jede Gleichung einen von null verschiedenen x- oder y-Koeffizienten, entspricht dies dem Schnittpunkt zweier Geraden. Eine Zeile mit ausschließlich null als Koeffizienten kann stattdessen eine Identität oder einen Widerspruch ausdrücken. Bei Δ = 0 gibt es kein eindeutiges Paar; der Rechner unterscheidet dann nicht zwischen keiner und unendlich vielen Lösungen.
So funktioniert es
Formel und Logik
Δ = a₁b₂ − a₂b₁, Δx = c₁b₂ − c₂b₁, Δy = a₁c₂ − a₂c₁. Für Δ ≠ 0 gilt x = Δx/Δ und y = Δy/Δ. Bei Δ = 0 liefern die Cramerschen Formeln kein eindeutiges Paar; zur Klassifikation ist ein anderes Verfahren nötig. Nullkoeffizienten sind zulässig und müssen ausdrücklich eingetragen werden.
Beispiel
Für 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5 ist die Determinante −14 und die Lösung x = 2, y = 3.
Felder und Einheiten
- a₁ — Koeffizient von x in der ersten Gleichung — ohne Einheit
- b₁ — Koeffizient von y in der ersten Gleichung — ohne Einheit
- c₁ — rechte Seite der ersten Gleichung — ohne Einheit
- a₂ — Koeffizient von x in der zweiten Gleichung — ohne Einheit
- b₂ — Koeffizient von y in der zweiten Gleichung — ohne Einheit
- c₂ — rechte Seite der zweiten Gleichung — ohne Einheit
So wird gerechnet
- — Schreibe beide Gleichungen in der Form ax + by = c.
- — Trage die Koeffizienten der ersten Gleichung ein: a₁, b₁ und c₁.
- — Trage die Koeffizienten der zweiten Gleichung ein: a₂, b₂ und c₂.
- — Eine fehlende Unbekannte bedeutet einen Koeffizienten von null und kein leeres Feld.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Cramersche Regel für zwei Gleichungen mit Determinante ungleich null
- Einschränkung
- Endliche Koeffizienten sind zulässig, auch negative Werte und Dezimalzahlen. Determinanten werden aus den binären Darstellungen der Eingaben berechnet; Ergebnisse werden gerundet. Kleine von null verschiedene Werte erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise. Ein nicht darstellbares Δ, x oder y führt zu einem Bereichsfehler. Nahezu abhängige Systeme reagieren empfindlich auf Unsicherheiten der Koeffizienten; zusätzliche angezeigte Stellen beseitigen diese Empfindlichkeit nicht.
FAQ
Was bedeutet eine Determinante von null?
Bei Δ = 0 gibt es kein eindeutiges Paar x, y. Es sind keine oder unendlich viele Lösungen möglich; dieses Modell unterscheidet die Fälle nicht. Parallele oder identische Geraden beschreiben nur Fälle, in denen jede Zeile tatsächlich eine Gerade darstellt. Eine Zeile 0x + 0y = c kann eine Identität oder ein Widerspruch sein.
Dürfen die Koeffizienten negativ oder gebrochen sein?
Ja, endliche negative Koeffizienten und Dezimalzahlen sind zulässig. Eine Determinante von null ist nicht der einzige Abbruchgrund: Das Ergebnis muss im darstellbaren Zahlenbereich bleiben.
Wie trage ich eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ein?
Setze für die fehlende Unbekannte den Koeffizienten null. Aus 3x = 12 wird a = 3, b = 0, c = 12.
Warum die Regel von Cramer und nicht Einsetzen?
Für Δ ≠ 0 liefert die Cramersche Regel unmittelbar das eindeutige Paar x, y. Einsetzen oder Eliminieren führt zum selben mathematischen Ergebnis. Bei Δ = 0 ist die Existenz noch nicht entschieden: Ein anderes Verfahren muss zwischen keiner und unendlich vielen Lösungen unterscheiden.