Калькулятор системы линейных уравнений
Решает систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по правилу Крамера.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Находит единственную пару x, y для системы a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂ правилом Крамера. Если в каждом уравнении есть ненулевой коэффициент при x или y, геометрически это пересечение двух прямых. Нулевая строка может вместо прямой задавать тождество или противоречие. При Δ = 0 единственной пары нет: калькулятор останавливается, не различая отсутствие решений и бесконечное множество.
Как считается
Формула и логика
Δ = a₁b₂ − a₂b₁, Δx = c₁b₂ − c₂b₁, Δy = a₁c₂ − a₂c₁. При Δ ≠ 0: x = Δx/Δ и y = Δy/Δ. При Δ = 0 формулы Крамера не дают единственную пару; для классификации системы нужен другой метод. Нулевые коэффициенты допустимы и вводятся явно, а не пустым полем.
Пример
Для 2x + 3y = 13 и 4x − y = 5 определитель равен −14, а решение — x = 2, y = 3.
Поля и единицы
- a₁ — коэффициент при x в первом уравнении — без единицы
- b₁ — коэффициент при y в первом уравнении — без единицы
- c₁ — правая часть первого уравнения — без единицы
- a₂ — коэффициент при x во втором уравнении — без единицы
- b₂ — коэффициент при y во втором уравнении — без единицы
- c₂ — правая часть второго уравнения — без единицы
Как пользоваться
- — Приведите оба уравнения к виду ax + by = c.
- — Введите коэффициенты первого уравнения: a₁, b₁ и c₁.
- — Введите коэффициенты второго уравнения: a₂, b₂ и c₂.
- — Отсутствующая неизвестная — это коэффициент нуль, а не пустое поле.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: правило Крамера для двух уравнений при ненулевом определителе
- Ограничение
- Принимаются конечные коэффициенты, в том числе отрицательные и десятичные. Определители вычисляются из двоичного представления введённых чисел, результат округляется. Малые ненулевые значения показываются в научной записи. Непредставимый Δ, x или y даёт ошибку диапазона. Почти зависимая система чувствительна к погрешности исходных коэффициентов; больше цифр на экране не устраняет эту чувствительность.
FAQ
Что означает нулевой определитель системы?
При Δ = 0 единственной пары x, y нет. Возможны отсутствие решений или бесконечное множество; эта модель не различает их. Параллельные или совпадающие прямые описывают лишь случай, когда каждый ряд действительно задаёт прямую. Ряд 0x + 0y = c может быть тождеством или противоречием.
Можно ли вводить отрицательные и дробные коэффициенты?
Да, допустимы конечные отрицательные и десятичные коэффициенты. Нулевой определитель не единственная причина остановки: результат также должен оставаться в числовом диапазоне.
Как ввести уравнение, где есть только одна неизвестная?
Поставьте нуль коэффициентом при отсутствующей неизвестной. Уравнение 3x = 12 записывается как a = 3, b = 0, c = 12.
Почему правило Крамера, а не подстановка?
При Δ ≠ 0 правило Крамера сразу даёт единственную пару x, y. Подстановка или исключение дают тот же математический результат. Нулевой Δ не решает вопрос существования: для различения отсутствия решений и бесконечного множества нужен другой метод.