Rechner für die Vieleckfläche aus Koordinaten
Fläche, Umfang und Schwerpunkt eines einfachen Vielecks aus geordneten Eckpunkten.
Fülle die Felder aus, dann erscheint das Ergebnis hier automatisch.
Die gaußsche Trapezformel liefert die Fläche eines einfachen Vielecks aus Eckpunkten entlang seines Umrisses. Beide Umlaufrichtungen sind gültig: Sie ändern das Vorzeichen der Summe, nicht die geometrische Fläche. Zusätzlich werden Umfang und Schwerpunkt einer gleichmäßig verteilten ebenen Fläche berechnet. Konkave Umrisse sind erlaubt; Selbstschnitte, überlappende Kanten und Fläche null sind ausgeschlossen.
So funktioniert es
Formel und Logik
Mit wᵢ = xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ gilt 2A_or = Σwᵢ und Fläche = |A_or|. Schwerpunkt X = Σ(xᵢ+xᵢ₊₁)wᵢ/(6A_or), Y entsprechend. Der Umfang summiert die Abstände benachbarter Punkte einschließlich der Schlusskante. Produkte und Vorzeichen werden vor dem Runden geprüft, damit eine große Ursprungsverschiebung keine kleine Fläche auslöscht.
Beispiel
Ein Rechteck 4 mal 3, als vier Ecken eingetragen, ergibt eine Fläche von 12 und einen Umfang von 14.
Felder und Einheiten
- Eckpunkte: x und y je Zeile, der Reihe nach — gemeinsame Längeneinheit der Koordinaten
So wird gerechnet
- — Trage einen Eckpunkt je Zeile ein: x und y.
- — Folge dem Umriss der Reihe nach — beide Richtungen gehen, aber springe nicht quer.
- — Wiederhole den ersten Eckpunkt am Ende nicht; der Umriss schließt sich selbst.
- — Prüfe den Umlaufsinn, wenn die Form nicht die erwartete ist.
- — Trenne x und y durch Leerraum oder Semikolon; ein Dezimalkomma innerhalb einer Koordinate ist erlaubt. Seitengrenzen sind 3–256 verschiedene Eckpunkte und 32768 Zeichen.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Fläche eines einfachen geschlossenen Gebiets aus dem Rand
- Einschränkung
- Ein einfacher ebener Umriss in kartesischen Koordinaten. Der Schwerpunkt gilt für eine gleichmäßig gefüllte Fläche, nicht für den Mittelwert der Punkte oder ungleichmäßiges Material. Geografische Breite und Länge sind keine ebenen Längenmaße.
FAQ
Muss ich den ersten Punkt am Ende wiederholen?
Nein, der Umriss schließt sich automatisch. Ein einmaliger Schlusswiederholpunkt wird akzeptiert und nicht als zusätzlicher Eckpunkt gezählt. Andere wiederholte Punkte und Kanten der Länge null werden abgewiesen.
Spielt die Richtung des Umlaufs eine Rolle?
Beide Richtungen sind richtig. Eine Umkehr ändert nur die Umlaufangabe; Fläche, Umfang und Schwerpunkt bleiben gleich. Falsch ist eine Umordnung, bei der Kanten sich schneiden, nicht der Uhrzeigersinn an sich.
Darf das Vieleck nicht konvex sein?
Ja, solange der Umriss einfach ist und weder Selbstschnitte noch Überlappungen enthält. Bei einem gekreuzten Umriss ergibt die Formel eine vorzeichenbehaftete Summe; für die gefüllte Fläche wäre eine Füllregel nötig. Hier wird diese Summe nicht als einfache Fläche ausgegeben.
In welchen Einheiten steht das Ergebnis?
Koordinaten und Schwerpunkt verwenden eine von dir gewählte Längeneinheit; der Umfang dieselbe Einheit, die Fläche deren Quadrat. Mische nicht Meter und Zentimeter zwischen Punkten; Einheiten werden nicht automatisch erkannt.
Warum wird eine Gerade abgewiesen?
Weil drei Punkte auf einer Geraden nichts einschließen. Null anzuzeigen sähe nach einer gültigen Antwort auf eine ungültige Figur aus.