Площадь многоугольника по координатам
Площадь, периметр и центроид простого многоугольника по вершинам контура.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Формула шнурков находит площадь простого многоугольника по координатам вершин, записанным вдоль контура. Можно обходить по часовой стрелке или против неё: направление меняет знак ориентированной суммы, но не геометрическую площадь. Калькулятор также находит периметр и центроид однородной плоской области. Невыпуклые контуры допустимы; самопересечения, наложение сторон и нулевая площадь исключены.
Как считается
Формула и логика
wᵢ = xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ, 2Aор = Σwᵢ, площадь = |Aор|. Центроид X = Σ(xᵢ+xᵢ₊₁)wᵢ/(6Aор), Y аналогично. Периметр — сумма расстояний между соседними вершинами, включая последнюю и первую. Знаки и произведения координат проверяются до округления, чтобы большой сдвиг начала координат не уничтожил малую площадь.
Пример
Прямоугольник 4 на 3, введённый четырьмя углами, даёт площадь 12 и периметр 14.
Поля и единицы
- Вершины: x и y в строке, по порядку обхода — общая единица длины координат
Как пользоваться
- — Введите по одной вершине в строке: x и y.
- — Идите по контуру по порядку — направление любое, но не перепрыгивайте.
- — Не повторяйте первую вершину в конце: контур замыкается сам.
- — Проверьте направление обхода, если фигура вышла не той, что вы ожидали.
- — Разделяйте x и y пробелом или точкой с запятой; десятичная запятая допустима внутри координаты. Ограничение страницы — 3–256 различных вершин и 32768 символов.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: площадь простой замкнутой области через границу
- Ограничение
- Простой плоский контур в декартовых координатах. Центроид относится к равномерно заполненной области, а не к среднему положению вершин или к неоднородному материалу. Географические широта и долгота не являются длинами на плоскости.
FAQ
Нужно ли повторять первую точку в конце?
Нет, контур замыкается автоматически. Одно повторение первой точки в самом конце допускается и удаляется из счёта вершин. Другие повторные вершины и стороны нулевой длины отклоняются.
Важно ли направление обхода?
Оба направления верны. При обращении порядка меняется только подпись обхода, а площадь, периметр и центроид сохраняются. Ошибка — переставить вершины так, что рёбра начинают пересекаться; само направление «по часовой» ошибкой не является.
Может ли многоугольник быть невыпуклым?
Да, если контур простой, без самопересечений и наложений. Для пересекающегося контура формула шнурков даёт ориентированную сумму, которая зависит от выбранного правила заполнения; инструмент не выдаёт её за площадь простой области.
В каких единицах результат?
Координаты и центроид выражены в одной выбранной вами единице длины, периметр — в той же единице, площадь — в её квадрате. Смешивать метры и сантиметры между точками нельзя; автоматического распознавания единиц здесь нет.
Почему прямая отклоняется?
Потому что три точки на одной прямой ничего не охватывают. Показать ноль значило бы выдать правильный ответ на неправильную фигуру.