Fibonacci-Rechner
Die n-te Fibonacci-Zahl, die Summe der Reihe und das Verhältnis benachbarter Glieder.
Fülle die Felder aus, dann erscheint das Ergebnis hier automatisch.
Berechnet ein Glied, die Summe der ersten n Glieder einschließlich des gesuchten Glieds und das vorherige Glied. Hier gilt F₁ = 0 und F₂ = 1: Index 1 bezeichnet null. Ab n = 3 wird auch das näherungsweise Verhältnis zum Vorgänger angezeigt. BigInt erhält alle Ziffern der ganzzahligen Glieder und Summen. Zulässig sind ganze Indizes von 1 bis 78. Diese beibehaltene Seitengrenze ist keine Grenze der Rekursion oder von BigInt. Die Tabelle zeigt zehn Glieder.
So funktioniert es
Formel und Logik
F₁ = 0, F₂ = 1 und Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Die ersten n Glieder ergeben Fₙ₊₂ − 1. Die verbreitete Konvention F₀ = 0 beginnt einen Index früher. Vergleiche deshalb die Anfangsglieder, bevor du einen Index aus einer anderen Quelle übernimmst.
Beispiel
Das zwanzigste Glied ist 4181, die Summe der ersten zwanzig ist 10 945, und das Verhältnis zum vorigen Glied liegt bereits bei 1,618.
Felder und Einheiten
- Gliednummer n — ohne Einheit
So wird gerechnet
- — Trage die Stelle des gesuchten Glieds ein.
- — Die Zählung beginnt bei F₁ = 0 und F₂ = 1.
- — Verfügbar sind die Stellen von der ersten bis zur achtundsiebzigsten.
- — Das Verhältnis zum vorigen Glied erscheint ab dem dritten.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OEIS A000045: Fibonacci-Rekursion und Nummerierung ab F(0) = 0
- Einschränkung
- Hier gilt F₁ = 0 und F₂ = 1: Index 1 bezeichnet null. Zulässig sind ganze Indizes von 1 bis 78.
FAQ
Wo beginnt die Reihe?
Hier bei null: F₁ = 0, F₂ = 1, F₃ = 1, F₄ = 2 und so fort. Eine andere gebräuchliche Übereinkunft macht das erste Glied zu 1, was jede Stelle um eins verschiebt — das zehnte Glied wäre dann 55 statt 34.
Warum kann ich nicht über das 78. Glied hinaus?
78 ist die beibehaltene Grenze dieser Seite. Bei dieser Nummerierung ist das 79. Glied 8944394323791464 noch eine sichere ganze Number-Zahl; das 80. überschreitet die allgemeine sichere Ganzzahlgrenze. BigInt könnte weiterrechnen, aber diese Seite unterstützt solche Eingaben nicht.
Wie hängt die Reihe mit dem Goldenen Schnitt zusammen?
Das Verhältnis benachbarter Glieder nähert sich mit wachsender Stelle 1,6180339… Beim zehnten Glied liegt es bei 1,619, und beim zwanzigsten ist es auf vier Nachkommastellen vom Grenzwert nicht zu unterscheiden.
Warum haben die ersten beiden Glieder kein Verhältnis?
Es gibt nichts, wodurch geteilt werden könnte: das erste Glied hat keinen Vorgänger, und der Vorgänger des zweiten ist null. Die Zeile wegzulassen ist ehrlicher, als unendlich auszugeben.
Wie groß ist die Summe der ersten n Glieder?
Sie ist stets um eins kleiner als das Glied an der Stelle n+2. Die Summe der ersten zehn ist 88, und das zwölfte Glied ist 89.