Калькулятор геометрической прогрессии
n-й член, сумма ряда и сами члены прогрессии.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Находит n-й член и сумму первых n членов последовательности, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на r. Здесь принимаются конечные a₁ и ненулевое r, целое n от 1 до 50. a₁ может быть отрицательным или нулевым, отрицательное r меняет знак ненулевых членов. Таблица показывает первые двадцать членов. При |r| < 1 дополнительно выводится сумма бесконечного ряда. Члены и конечная сумма считаются точной промежуточной двоичной арифметикой с округлением в конце.
Как считается
Формула и логика
aₙ = a₁rⁿ⁻¹. Для r ≠ 1: Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r); для r = 1: Sₙ = na₁. Здесь конечная сумма получается сложением точных промежуточных двоичных членов: это избегает вычитания близких степеней при r около 1. При |r| < 1: S∞ = a₁/(1−r).
Пример
Начиная с 2 при знаменателе 3, десятый член равен 39 366, а сумма ряда — 59 048.
Поля и единицы
- Первый член — без единицы
- Знаменатель — без единицы
- Число членов — без единицы
Как пользоваться
- — Введите первый член — он может быть отрицательным.
- — Введите знаменатель: 2 удваивает на каждом шаге, 0,5 делит пополам.
- — Введите нужное число членов, до пятидесяти.
- — В таблице перечислены первые двадцать членов.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: постоянное отношение и формула n-го члена геометрической прогрессии OpenStax: конечные суммы прогрессий и бесконечная геометрическая сумма при |r| < 1
- Ограничение
- Предел 10¹⁵ относится к модулю n-го члена и конечной суммы, а не к дополнительной бесконечной сумме. Все показанные значения должны быть конечными и не терять ненулевую величину до нуля. Десятичный ввод и отображение округлены.
FAQ
Почему нулевой знаменатель отклоняется?
Это ограничение этой страницы. Рекуррентный ряд a₁, 0, 0, … при r = 0 математически имеет смысл, но здесь сохранён ввод с ненулевым r.
Когда существует бесконечная сумма?
Для ненулевого первого члена ряд сходится при |r| < 1, и S∞ = a₁/(1−r). Страница показывает эту строку только при таком r. Ряд с a₁ = 0 состоит из нулей и при других r, но отдельная строка для него не добавляется.
Может ли знаменатель быть отрицательным?
Да. При ненулевом a₁ члены чередуют знак, и сумма вычисляется по тем же формулам. Если a₁ = 0, все члены остаются нулями.
Почему пятьдесят членов, а не больше?
От 1 до 50 — предел этой страницы, а не предел математической формулы. Дополнительно |aₙ| и |Sₙ| должны быть меньше 10¹⁵. Эти ограничения сохраняют ограниченный объём расчёта и вывода.
Прогрессия — это те же сложные проценты?
При постоянной ставке за один период r = 1 + ставка, и величина без дополнительных платежей растёт геометрически. Это модель с одинаковыми периодами; денежные калькуляторы отдельно учитывают взносы, периодичность и денежное округление.