Калькулятор зрізаного конуса
Об’єм, твірна та поверхні зрізаного конуса за двома радіусами і висотою.
Заповніть поля, і результат автоматично зʼявиться тут.
Прямий зрізаний круговий конус має концентричні паралельні основи й перпендикулярну висоту. Об’єм V = πh(R²+Rr+r²)/3 враховує неперервну зміну радіуса за висотою. Твірна l = √(h²+(R−r)²) проходить бічною поверхнею; підстановка h замість l занижує її площу. Тут прийнято R > r ≥ 0: більший радіус вводиться першим, а нульовий менший дає повний конус.
Як працює
Формула і логіка
Об’єм дорівнює πh(R² + Rr + r²)/3. Твірна рахується від різниці радіусів: l = √(h² + (R − r)²), бо бічна лінія нахилена рівно настільки, наскільки верхня основа вужча за нижню. Бічна поверхня дорівнює π(R + r)l, а повна додає до неї площі обох основ.
Приклад
Зрізаний конус із R = 6 см, r = 3 см і h = 8 см має об’єм 168π ≈ 527,79 см³. Твірна √73 ≈ 8,544 см, бічна поверхня 9π√73 ≈ 241,58 см².
Поля й одиниці
- Одиниця довжини — варіант зі списку
- Більший радіус — см
- Менший радіус — см
- Висота — см
Як користуватися
- — Виберіть одиницю довжини.
- — Уведіть більший радіус основи R.
- — Уведіть менший радіус r незалежно від положення тіла.
- — Вкажіть висоту: це вертикаль між основами, а не твірна по схилу.
Методика та обмеження
- Методика розрахунку
- Формула і логіка
- Джерело даних або норми
- OpenStax: об’єм через інтегрування площ перерізів OpenStax: синус і тангенс у прямокутному трикутнику
- Обмеження
- Прямий зрізаний конус із паралельними круговими основами та спільною віссю. Повна поверхня містить обидві основи; стінки, бортик і часткове заповнення не моделюються. Для місткості потрібні внутрішні розміри в одній вибраній одиниці.
FAQ
Чим висота відрізняється від твірної?
Висота h перпендикулярна основам, твірна l йде по схилу. За різних радіусів l > h, тому π(R+r)h менша за правильну бічну площу π(R+r)l.
Звідки у формулі об’єму доданок Rr?
Радіус перерізу змінюється лінійно, площа — квадратично. Інтегрування π[R+(r−R)z/h]² від 0 до h дає πh(R²+Rr+r²)/3. Середня площа основ натомість завищує об’єм на πh(R−r)²/6.
Що буде, якщо верхній радіус дорівнює нулю?
Вийде звичайний конус, і вираз зведеться до πR²h/3. Це зручна перевірка правильності розрахунку.
Чому верхній радіус має бути меншим за нижній?
Це порядок радіусів у цьому інструменті, а не обмеження орієнтації тіла. Уведіть більший радіус як R та менший як r незалежно від положення ємності. Рівні радіуси тут виключені; для них використовуйте циліндр.
Як порахувати, скільки ввійде у відро?
Введіть радіуси дна й верху та висоту по внутрішньому боці. Об’єм у кубічних сантиметрах, поділений на 1000, дасть літри.