Калькулятор усечённого конуса
Объём, образующая и поверхности усечённого конуса по двум радиусам и высоте.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Прямой усечённый круговой конус описывается двумя концентрическими основаниями и перпендикулярной высотой. Его объём V = πh(R²+Rr+r²)/3 учитывает непрерывное изменение радиуса по высоте. Образующая l = √(h²+(R−r)²) идёт по боковой поверхности; подстановка h вместо l занижает её площадь. Здесь принята запись R > r ≥ 0: больший радиус вводится первым, а нулевой меньший радиус даёт обычный конус.
Как считается
Формула и логика
Объём V = πh(R² + Rr + r²)/3. Образующая l = √(h² + (R − r)²). Боковая поверхность π(R + r)l, полная — она же плюс площади обоих оснований.
Пример
У усечённого конуса с радиусами 6 и 3 см и высотой 8 см объём равен 527,79 см³.
Поля и единицы
- Единица длины — вариант из списка
- Больший радиус — см
- Меньший радиус — см
- Высота — см
Как пользоваться
- — Выберите единицу длины.
- — Введите больший радиус основания R.
- — Введите меньший радиус r независимо от положения тела.
- — Укажите высоту: это вертикаль между основаниями, а не образующая.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: объём через интегрирование площадей сечений OpenStax: синус и тангенс в прямоугольном треугольнике
- Ограничение
- Прямой усечённый конус с параллельными круговыми основаниями и общей осью. Полная поверхность включает оба основания; стенки, бортик и частичное заполнение не моделируются. Для вместимости нужны внутренние размеры в одной выбранной единице.
FAQ
Чем высота отличается от образующей?
Высота h перпендикулярна основаниям, образующая l идёт по скату. При разных радиусах l > h, поэтому π(R+r)h меньше правильной боковой поверхности π(R+r)l.
Откуда в формуле объёма берётся слагаемое Rr?
Радиус сечения меняется линейно, а площадь — как квадрат радиуса. Интегрирование π[R+(r−R)z/h]² от 0 до h даёт πh(R²+Rr+r²)/3. Простая средняя площадь оснований завышает объём на πh(R−r)²/6.
Что будет, если верхний радиус равен нулю?
Получится обычный конус, и формула сводится к πR²h/3. Это удобная проверка правильности расчёта.
Почему верхний радиус должен быть меньше нижнего?
Так задан порядок двух радиусов в этом инструменте, а не ограничение возможной ориентации тела. Введите больший радиус как R и меньший как r независимо от того, как стоит ёмкость. Равные радиусы здесь исключены; для них используйте цилиндр.
Как посчитать, сколько войдёт в ведро?
Введите радиусы дна и верха и высоту по внутренней стороне. Объём в кубических сантиметрах, делённый на 1000, даст литры.