Kegelstumpfrechner
Volumen, Seitenhöhe und Flächen eines Kegelstumpfs aus zwei Radien und der Höhe.
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Ein gerader Kegelstumpf hat konzentrische parallele Kreisflächen und eine senkrechte Höhe. Sein Volumen V = πh(R²+Rr+r²)/3 berücksichtigt den stetig veränderlichen Radius. Die Mantellinie l = √(h²+(R−r)²) verläuft schräg; h statt l einzusetzen ergibt eine zu kleine Mantelfläche. Hier gilt R > r ≥ 0: Der größere Radius kommt zuerst, der kleinere Radius null ergibt einen vollständigen Kegel.
So funktioniert es
Formel und Logik
Volumen V = πh(R² + Rr + r²)/3. Seitenhöhe l = √(h² + (R − r)²). Die Mantelfläche ist π(R + r)l, und die Gesamtoberfläche zählt beide Grundflächen dazu.
Beispiel
Ein Kegelstumpf mit den Radien 6 und 3 cm und der Höhe 8 cm hat ein Volumen von 527,79 cm³.
Felder und Einheiten
- Längeneinheit — Auswahl aus der Liste
- Größerer Radius — cm
- Kleinerer Radius — cm
- Höhe — cm
So wird gerechnet
- — Wähle die Längeneinheit.
- — Gib den größeren Grundflächenradius R ein.
- — Gib den kleineren Radius r unabhängig von der Lage des Körpers ein.
- — Trage die Höhe ein: den senkrechten Abstand der Grundflächen, nicht die Schräge.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Volumen durch Integration der Querschnittsflächen OpenStax: Sinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- Einschränkung
- Gerader Kegelstumpf mit parallelen Kreisflächen und gemeinsamer Achse. Die Gesamtoberfläche enthält beide Grundflächen; Wandstärke, Rand und Teilfüllung werden nicht berechnet. Fassungsvermögen verlangt Innenmaße in einer gewählten Einheit.
FAQ
Wie unterscheidet sich die Höhe von der Seitenhöhe?
Die Höhe h steht senkrecht auf den Grundflächen, die Mantellinie l verläuft schräg. Bei ungleichen Radien ist l > h; deshalb ist π(R+r)h kleiner als die richtige Mantelfläche π(R+r)l.
Woher kommt der Term Rr im Volumen?
Der Querschnittsradius ändert sich linear, seine Fläche quadratisch. Das Integral von π[R+(r−R)z/h]² über 0 bis h ergibt πh(R²+Rr+r²)/3. Der Mittelwert der Grundflächen setzt das Volumen um πh(R−r)²/6 zu hoch an.
Was passiert bei einem oberen Radius von null?
Du bekommst einen gewöhnlichen Kegel, und die Formel geht in πR²h/3 über. Das ist eine bequeme Probe für das Ergebnis.
Warum muss der obere Radius kleiner sein als der untere?
Das ist die Eingabereihenfolge dieses Rechners und keine Einschränkung der Körperorientierung. Gib den größeren Radius als R und den kleineren als r ein, unabhängig von der Lage des Behälters. Gleiche Radien sind hier ausgeschlossen; dafür eignet sich der Zylinderrechner.
Wie ermittle ich, was ein Eimer fasst?
Trage die Radien von Boden und Rand und die Innenhöhe ein. Das Volumen in Kubikzentimetern geteilt durch 1000 ergibt Liter.