Rechner für die Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit für genau k, höchstens k und mindestens k Erfolge in einer Reihe unabhängiger Versuche.
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Berechnet Wahrscheinlichkeiten für eine Reihe unabhängiger Versuche mit jedes Mal derselben Erfolgschance. Die Formel C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ hat drei Faktoren mit verschiedenen Aufgaben: auf wie viele Weisen sich die Erfolge über die Versuche verteilen lassen, wie wahrscheinlich diese Erfolge sind und wie wahrscheinlich die übrigen Misserfolge sind. Neben dem genauen Wert stehen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für „höchstens“ und „mindestens“ — in der Praxis sind meist sie gefragt — sowie Erwartungswert und Standardabweichung der Reihe.
So funktioniert es
Formel und Logik
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Kumulierte Werte entstehen durch Summieren über die betreffenden k. Der Erwartungswert ist n·p und die Abweichung die Wurzel aus n·p·(1−p). Unterstützt werden 1–1000 Versuche; n und k sind ganzzahlig mit 0 ≤ k ≤ n. Kombinationen werden mit exakter Ganzzahlarithmetik berechnet, angezeigte Wahrscheinlichkeiten gerundet. Kleine Werte ungleich null erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise; ein nicht darstellbares gewähltes Ergebnis führt zu einer Bereichsfehlermeldung.
Beispiel
Genau dreimal Kopf bei zehn Würfen einer fairen Münze hat die Wahrscheinlichkeit 0,1172 — rund 11,72 % der Versuchsreihen.
Felder und Einheiten
- Zahl der Versuche — ohne Einheit
- Zahl der Erfolge — ohne Einheit
- Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs — ohne Einheit
- Was berechnet wird — Auswahl aus der Liste
So wird gerechnet
- — Trage die Zahl der Versuche in der Reihe ein.
- — Trage die Zahl der Erfolge ein, für die die Wahrscheinlichkeit gesucht ist.
- — Trage die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs ein, von 0 bis 1.
- — Wähle die Wahrscheinlichkeit für genau k oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- NIST: Binomial-PMF, kumulierte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Abweichung
- Einschränkung
- Berechnet Wahrscheinlichkeiten für eine Reihe unabhängiger Versuche mit jedes Mal derselben Erfolgschance. Beeinflussen sich die Versuche gegenseitig, passt das Modell nicht.
FAQ
Wann gilt diese Formel?
Wenn die Versuche unabhängig sind, ihre Zahl feststeht und die Erfolgschance jedes Mal dieselbe ist. Beeinflussen sich die Versuche gegenseitig, passt das Modell nicht.
Wie unterscheidet sich „höchstens k“ von „genau k“?
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit summiert jeden Ausgang bis einschließlich k. In der Praxis lautet die Frage meist „nicht mehr als wie viele“ und nicht „genau so viele“.
Warum werden die Kombinationen nicht über Fakultäten berechnet?
Durch aufeinanderfolgende Multiplikation und exakte Ganzzahldivision entsteht C(n,k), ohne zwei große Fakultäten auszurechnen. Exakt ist die Anzahl, nicht die angezeigte Wahrscheinlichkeit. 20!, 21! und 22! sind in binary64 noch exakt darstellbar; 23! ist die erste nicht exakt darstellbare Fakultät.
Was passiert bei einer Wahrscheinlichkeit von 0 oder 1?
Der Ausgang wird sicher: bei p = 1 gelingt jeder Versuch, bei p = 0 keiner. Die Standardabweichung ist in beiden Fällen null.
Warum dürfen die Erfolge die Versuche nicht übersteigen?
Weil es einen solchen Ausgang nicht gibt. Formal ist die Wahrscheinlichkeit null, in der Praxis ist es ein Tippfehler, deshalb hält die Rechnung an.