Калькулятор биномиальной вероятности
Вероятность ровно k, не более k и не менее k успехов в серии независимых испытаний.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Считает вероятность для серии независимых испытаний с одинаковым шансом успеха. Формула C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ состоит из трёх сомножителей, отвечающих за разное: сколько существует способов расставить успехи по испытаниям, насколько вероятны сами успехи и насколько вероятны оставшиеся неудачи. Помимо вероятности ровно k показаны накопленные вероятности «не более k» и «не менее k» — на практике чаще нужны именно они, а также математическое ожидание и стандартное отклонение серии.
Как считается
Формула и логика
Вероятность ровно k успехов равна C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Накопленные значения получаются суммированием по всем подходящим k. Ожидание равно n·p, а отклонение — корню из n·p·(1−p). Поддерживается 1–1000 испытаний; n и k — целые, 0 ≤ k ≤ n. Число сочетаний вычисляется точно целочисленной арифметикой, а вероятности выводятся с округлением. Очень малая ненулевая вероятность показывается в научной записи; если выбранный результат не представим, расчёт сообщает об ограничении диапазона.
Пример
Ровно три орла в десяти бросках честной монеты выпадают с вероятностью 0,1172, то есть в 11,72 % серий.
Поля и единицы
- Число испытаний — без единицы
- Число успехов — без единицы
- Вероятность успеха в одном испытании — без единицы
- Что считаем — вариант из списка
Как пользоваться
- — Введите число испытаний в серии.
- — Укажите число успехов, для которого считается вероятность.
- — Задайте вероятность успеха в одном испытании — от 0 до 1.
- — Выберите вероятность ровно k или накопленную вероятность.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- NIST: биномиальная PMF, накопленная вероятность, ожидание и отклонение
- Ограничение
- Считает вероятность для серии независимых испытаний с одинаковым шансом успеха. Если испытания влияют друг на друга, схема не подходит.
FAQ
Когда применима эта формула?
Когда испытания независимы, их число фиксировано, а вероятность успеха одинакова в каждом. Если испытания влияют друг на друга, схема не подходит.
Чем «не более k» отличается от «ровно k»?
Накопленная вероятность суммирует все исходы до k включительно. На практике вопрос обычно звучит «не больше скольких», а не «ровно столько».
Почему число сочетаний не считается через факториалы?
Последовательное умножение и точное целочисленное деление дают C(n,k) без вычисления двух больших факториалов. Это относится к числу способов; вероятности всё равно рассчитываются приближённо. Утверждение, что 20! уже обязательно теряет точность, неверно: 20!, 21! и 22! представимы точно, а первое неточное значение этой последовательности — 23!.
Что происходит при вероятности 0 или 1?
Исход становится определённым: при p = 1 все испытания успешны, при p = 0 — ни одного. Стандартное отклонение в обоих случаях равно нулю.
Почему число успехов не может превышать число испытаний?
Потому что такого исхода не существует. Формально вероятность равна нулю, но обычно это опечатка, поэтому расчёт останавливается.