Rechner für quadratische Gleichungen
ax² + bx + c = 0 lösen und die Diskriminante sehen.
Fülle die Felder aus, dann erscheint das Ergebnis hier automatisch.
Löst ax² + bx + c = 0 für a ≠ 0 im reellen Bereich. Angezeigt werden die Diskriminante, die Anzahl verschiedener reeller Lösungen und die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Bei D = 0 hat die einzige angezeigte Lösung die Vielfachheit zwei. Komplexe Lösungen und der lineare Fall a = 0 gehören nicht zu diesem Modell.
So funktioniert es
Formel und Logik
D = b² − 4ac: Für D > 0 gilt x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a), für D = 0 gilt x = −b/(2a), und für D < 0 gibt es keine reellen Lösungen. Die Symmetrieachse liegt bei xV = −b/(2a). Der Scheitelpunkt ist das Paar (xV, f(xV)); hier erscheint nur xV. Die Berechnung zweier Lösungen verwendet eine numerisch stabile Formelvariante und x₁x₂ = c/a.
Beispiel
Für x² − 5x + 6 = 0 ist D = 25 − 24 = 1. Daraus folgen x = (5 ± 1) ÷ 2, also 3 und 2. Der Scheitelpunkt liegt bei x = 2,5 mit dem Wert −0,25 — die Parabel taucht also knapp unter die x-Achse.
Felder und Einheiten
- Koeffizient a — ohne Einheit
- Koeffizient b — ohne Einheit
- Koeffizient c — ohne Einheit
So wird gerechnet
- — Trage den Koeffizienten a ein; er darf nicht null sein, sonst ist die Gleichung linear.
- — Trage b und c ein, Vorzeichen eingeschlossen.
- — Lies die Diskriminante und die Zahl der reellen Lösungen ab.
- — Prüfe den Scheitelpunkt, wenn du den Verlauf der Parabel brauchst.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: quadratische Lösungsformel und Einteilung nach Diskriminante
- Einschränkung
- Die Koeffizienten müssen endlich sein, mit a ≠ 0. Gerechnet wird mit ihrer binären Zahlendarstellung. Lösungen erscheinen gewöhnlich mit vier Nachkommastellen; bei |x| < 0,0001 oder ≥ 10¹² in wissenschaftlicher Schreibweise mit sechs signifikanten Stellen. Eine nicht darstellbare Diskriminante, Scheitelpunkt-x-Koordinate oder Lösung führt zu einer Bereichsfehlermeldung statt zu Überlauf oder falscher null.
FAQ
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Reelle Lösungen gibt es dann keine; im Bereich der komplexen Zahlen existieren zwei zueinander konjugierte Lösungen.
Warum darf a nicht null sein?
Mit a = 0 verschwindet das quadratische Glied, und es bleibt die lineare Gleichung bx + c = 0. Die Lösungsformel enthält 2a im Nenner und wäre nicht definiert.
Wie hängen die Lösungen mit dem Scheitelpunkt zusammen?
Bei zwei reellen Lösungen ist ihre mittlere x-Koordinate xV = −b/(2a). Das ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts; der vollständige Punkt enthält auch f(xV), das dieser Rechner nicht ausgibt.
Was besagt der Satz von Vieta?
Bei a = 1 ist die Summe der Lösungen −b und ihr Produkt c. Im Beispiel gilt 3 + 2 = 5 und 3 × 2 = 6, was sich mit den Koeffizienten deckt.
Wie werden kleine Lösungen angezeigt?
Ganze Werte erscheinen gewöhnlich ohne Nachkommastellen, andere mit vier Nachkommastellen. Für 0 < |x| < 0,0001 oder |x| ≥ 10¹² verwendet die wissenschaftliche Schreibweise sechs signifikante Stellen, damit eine kleine von null verschiedene Lösung nicht wie null aussieht.