Rechner für das Trägheitsmoment
Trägheitsmoment von Stab, Scheibe, Ring oder Kugel um eine Achse.
Fülle die Felder aus, dann erscheint das Ergebnis hier automatisch.
Das Trägheitsmoment hängt von Massenverteilung und Drehachse ab, nicht allein von der Masse. Die Körper sind homogen: Ein dünner Stab dreht um eine senkrechte Achse durch Mitte oder Ende; Scheibe und dünner Ring um die zentrale Achse normal zur Ebene; Vollkugel und dünne Kugelschale um einen Durchmesser. Größe bedeutet Stablänge L, bei den anderen Formen Radius r.
So funktioniert es
Formel und Logik
Stab um die Mitte mL²/12, um das Ende mL²/3, Scheibe mr²/2, Ring mr², Vollkugel 2 mr²/5, Hohlkugel 2 mr²/3.
Beispiel
Eine Scheibe mit 2 kg und 15 cm Radius hat ein Trägheitsmoment von 0,0225 kg·m².
Felder und Einheiten
- Körper — Auswahl aus der Liste
- Masse — kg
- Radius oder Länge — m
So wird gerechnet
- — Wähle den Körper: die Drehachse ist damit festgelegt.
- — Bei Scheibe, Ring oder Kugel trägst du den Radius ein; bei einem Stab seine Länge.
- — Der Trägheitsradius sagt dir, wie weit von der Achse die ganze Masse liegen müsste, um dasselbe Moment zu ergeben.
- — Bei einem zusammengesetzten Körper rechne die Teile einzeln und addiere ihre Momente um dieselbe Achse.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Trägheit und gewählte Achse
- Einschränkung
- Homogene ideale Formen und die genannten Achsen. „Hohlkugel“ meint eine dünne Schale; eine dicke Schale benötigt den Innenradius. Beliebige Achsen, inhomogene Dichte und der Satz von Steiner werden nicht automatisch berechnet.
FAQ
Warum ist ein Ring doppelt so groß wie eine Scheibe?
Ein Ring hat seine ganze Masse am Radius, während eine Scheibe sie von der Mitte bis zum Rand verteilt. Das Moment wächst mit dem Quadrat des Abstands, die inneren Lagen einer Scheibe steuern also weit weniger bei.
Warum zwei Möglichkeiten für einen Stab?
IEnde=IMitte+m(L/2)²=mL²/3, also viermal mL²/12. Das vergleicht zwei Achsen; wie leicht eine Kraft den Körper dreht, hängt zusätzlich vom Hebelarm ab und nicht allein von der Trägheit.
Was zeigt der Trägheitsradius?
Den Abstand von der Achse, in dem die ganze Masse als Punkt liegen müsste, damit das Moment unverändert bliebe. Er ersetzt eine verwickelte Form durch eine Zahl.
Wie behandle ich einen zusammengesetzten Körper?
Addiere die Momente der Teile um dieselbe Achse. Läuft die Achse nicht durch die Mitte eines Teils, addiere seine Masse mal dem Versatz im Quadrat — der Satz von Steiner, der hier nicht berechnet wird.