Rechner für die Zeitdilatation
Lorentzfaktor, Zeitdilatation und Längenkontraktion.
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Für zwei Ereignisse an derselben bewegten Uhr wird deren Eigenzeitintervall τ zu t=γτ im Inertialsystem, in dem sich die Uhr mit v bewegt. Gib β=v/c und τ in Sekunden ein. Ausgegeben werden t, γ, t−τ und der Längsanteil L/L₀. Gravitation, Beschleunigung und der Ablauf einer Reise werden nicht modelliert.
So funktioniert es
Formel und Logik
γ=1/√((1−β)(1+β)); t=γτ; t−τ=τβ²/[√(1−β²)(1+√(1−β²))]; L/L₀=1/γ. Zulässig sind 0≤β<1 und τ>0.
Beispiel
Bei der halben Lichtgeschwindigkeit dehnt sich eine Sekunde auf der bewegten Uhr auf 1,155 s.
Felder und Einheiten
- Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit — ohne Einheit
- Eigenzeit — s
So wird gerechnet
- — Die Geschwindigkeit ist ein Anteil der Lichtgeschwindigkeit, die Eigenzeit wird in Sekunden eingegeben.0,5 bedeutet die halbe Lichtgeschwindigkeit;1 ist unzulässig.
- — Die Längenzeile zeigt die verbleibenden 100/γ Prozent, nicht die prozentuale Verkürzung. Bei β=0,5 beträgt die Länge 86,6025% von L₀, die Abnahme also≈13,3975%.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax §5.3: Eigenzeitintervall und t=γτ im Inertialsystem OpenStax §5.4: verbleibende Längenausdehnung L/L₀=1/γ NIST CODATA 2022: exakte h, c, e und gemessene ε₀
- Einschränkung
- Für zwei Ereignisse an derselben bewegten Uhr wird deren Eigenzeitintervall τ zu t=γτ im Inertialsystem, in dem sich die Uhr mit v bewegt. Gravitation, Beschleunigung und der Ablauf einer Reise werden nicht modelliert.
FAQ
Warum ist bei alltäglichen Geschwindigkeiten nichts zu sehen?
Für β≪1 gilt γ−1≈β²/2. Bei 250 m/s und einer Stunde Eigenzeit beträgt die Differenz≈1,252 Nanosekunden. Kleine Effekte sind messbar; es gibt keine allgemeine Sichtbarkeitsschwelle.
Was ist die Eigenzeit?
Das Eigenzeitintervall wird zwischen zwei Ereignissen am selben Ort im Ruhesystem der Uhr gemessen. Im System, in dem die Uhr bewegt ist, beträgt dasselbe Intervall γτ. Keines der Inertialsysteme ist allgemein das wirkliche.
Warum lässt sich die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen?
Bei eins geht der Ausdruck unter der Wurzel auf null und der Faktor gegen unendlich. Physikalisch heißt das, dass es unendlich viel Energie kostete, einen massebehafteten Körper zu beschleunigen.
Verkürzt sich die Länge wirklich?
Ja, aber nur in Bewegungsrichtung und nur aus Sicht des ruhenden Beobachters. Für den bewegten Körper ändert sich nichts — für ihn verkürzt sich die umgebende Welt.
Warum kann eine kleine Zeitdifferenz ungleich null bleiben?
Bei kleinem β kann das gerundete γ als 1 erscheinen. Die Differenz wird separat mit einem stabilen Ausdruck berechnet: β=10⁻⁹ und τ=10²⁰ s ergeben≈50 s. Die Rundung verdeckt Stellen, nicht den physikalischen Effekt.