Калькулятор пирамиды
Объём, апофема и площади правильной пирамиды.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Апофем у пирамиды две, и путаница между ними — обычная ошибка. Апофема основания лежит плашмя внутри основания и идёт от его центра к середине стороны. Апофема боковой грани — это высота треугольной грани, отмеренная по наклонной поверхности, и именно она входит в площадь боковой поверхности. Вторая всегда длиннее первой, потому что образует гипотенузу с высотой пирамиды. Треть в формуле объёма — не приближение: любая пирамида и любой конус занимают ровно треть призмы или цилиндра, стоящих на том же основании при той же высоте.
Как считается
Формула и логика
Апофема основания = сторона ÷ (2 × tg(π ÷ n)). Апофема боковой грани — гипотенуза высоты и этой апофемы. Объём = площадь основания × высота ÷ 3.
Пример
Квадратная пирамида со стороной 6 см и высотой 9 см вмещает 108 см³ при апофеме 9,487 см.
Поля и единицы
- Единица длины — вариант из списка
- Сторон основания — 1
- Сторона основания — см
- Высота пирамиды — см
Как пользоваться
- — Выберите единицу длины для всех вводимых величин.
- — Укажите, сколько сторон у многоугольника основания.
- — Введите длину одной стороны основания.
- — Введите высоту по вертикали от основания до вершины.
- — Задайте целое n от 3 до 100. Высота положительна и идёт перпендикулярно основанию; вершина расположена над его центром.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: объём через интегрирование площадей сечений OpenStax: синус и тангенс в прямоугольном треугольнике
- Ограничение
- Правильное основание и вершина над его центром. Боковая апофема отличается от апофемы основания и бокового ребра. Полная поверхность включает основание; толщина и припуски не учитываются, единица не конвертируется автоматически.
FAQ
Высоту мерить по вертикали или по грани?
По вертикали, от центра основания до вершины. Измерение по грани — это апофема, и она выдаётся результатом, а не берётся входом.
Почему в объёме треть, а не половина?
Площадь параллельного сечения уменьшается как квадрат расстояния до вершины. Интегрирование даёт V = Bh/3, где B — площадь основания. Поэтому объём в три раза меньше призмы с тем же B и h; это не требует возможности сложить призму из трёх одинаковых копий этой пирамиды.
Как проверить большую квадратную пирамиду?
Для условной квадратной пирамиды со стороной 230 м и высотой 146 м получаем 230²·146/3 = 2 574 466,67 м³. Это проверка формулы для заданных размеров, а не обмер исторического сооружения.
А если вершина смещена от центра?
Формула объёма остаётся верной, но грани перестают быть одинаковыми, и единая апофема теряет смысл. Этот расчёт предполагает правильную пирамиду.