Pyramidenrechner
Volumen, Seitenhöhe und Flächen einer regelmäßigen Pyramide.
Fülle die Felder aus, dann erscheint das Ergebnis hier automatisch.
In einer Pyramide gibt es zwei Apothemen, und sie zu verwechseln ist der übliche Fehler. Die Apothema der Grundfläche liegt flach in ihr und läuft von der Mitte zur Mitte einer Seite. Die Seitenhöhe ist die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche, entlang der Schräge gemessen, und sie geht in die Mantelfläche ein. Die zweite ist stets länger als die erste, weil sie mit der Höhe der Pyramide die Hypotenuse bildet. Das Drittel in der Volumenformel ist keine Näherung: jede Pyramide und jeder Kegel nimmt genau ein Drittel des Prismas beziehungsweise Zylinders ein, der auf derselben Grundfläche in derselben Höhe steht.
So funktioniert es
Formel und Logik
Apothema der Grundfläche = Seite ÷ (2 × tan(π ÷ n)). Die Seitenhöhe ist die Hypotenuse aus Höhe und dieser Apothema. Volumen = Grundfläche × Höhe ÷ 3.
Beispiel
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, 6 cm Seite und 9 cm Höhe fasst 108 cm³ bei einer Seitenhöhe von 9,487 cm.
Felder und Einheiten
- Längeneinheit — Auswahl aus der Liste
- Seiten der Grundfläche — 1
- Länge einer Grundseite — cm
- Höhe der Pyramide — cm
So wird gerechnet
- — Wähle die Längeneinheit für alle Eingaben.
- — Trage ein, wie viele Seiten das Grundvieleck hat.
- — Trage die Länge einer Grundseite ein.
- — Trage die senkrechte Höhe von der Grundfläche zur Spitze ein.
- — Gib ganzzahliges n von 3 bis 100 ein. Die positive Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche; die Spitze liegt über deren Mitte.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Volumen durch Integration der Querschnittsflächen OpenStax: Sinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- Einschränkung
- Regelmäßige Grundfläche mit Spitze über ihrem Mittelpunkt. Die Seitenhöhe unterscheidet sich von Grundapothem und Seitenkante. Die Gesamtoberfläche enthält die Grundfläche; Wandstärke und Zugaben fehlen, Einheiten werden nicht automatisch umgerechnet.
FAQ
Wird die Höhe senkrecht oder entlang einer Seitenfläche gemessen?
Senkrecht, von der Mitte der Grundfläche zur Spitze. Das Maß entlang einer Seitenfläche ist die Seitenhöhe, und die wird als Ergebnis geliefert und nicht als Eingabe genommen.
Warum ein Drittel und nicht die Hälfte?
Parallele Querschnitte schrumpfen mit dem Quadrat des Abstands zur Spitze. Integration ergibt V = Bh/3 mit Grundfläche B. Das Volumen ist daher ein Drittel eines Prismas mit gleichem B und h; dafür müssen nicht drei identische Kopien dieser Pyramide das Prisma ausfüllen können.
Wie prüfe ich eine große quadratische Pyramide?
Eine gedachte quadratische Pyramide mit Seite 230 m und Höhe 146 m hat das Volumen 230²·146/3 = 2 574 466,67 m³. Das prüft die Formel für vorgegebene Maße und ist keine Vermessung eines historischen Bauwerks.
Und bei einer Pyramide mit außermittiger Spitze?
Die Volumenformel gilt weiter, aber die Seitenflächen sind nicht mehr gleich, und eine einzelne Seitenhöhe verliert ihren Sinn. Diese Rechnung geht von einer regelmäßigen Pyramide aus.