Калькулятор усечённой пирамиды
Объём, апофема и поверхности усечённой пирамиды с квадратными основаниями.
Заполните поля — результат появится здесь автоматически.
Усечённая пирамида здесь имеет квадратные параллельные основания с общей центральной осью. Две стороны оснований и перпендикулярная высота вводятся в сантиметрах. Сторона сечения меняется линейно, а площадь — квадратично, поэтому V = h(a²+ab+b²)/3. Средняя арифметическая площадей на высоту завышает объём на h(a−b)²/6. Апофема идёт по середине боковой грани и отличается от вертикальной высоты.
Как считается
Формула и логика
Объём h/3·(S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)); апофема √(h² + ((a−b)/2)²); боковая поверхность 2·(a+b)·апофема.
Пример
При a = 10 см, b = 6 см и h = 8 см объём 522,67 см³, апофема 8,246 см, боковая поверхность 263,88 см², полная 399,88 см². Площади оснований — 100 и 36 см².
Поля и единицы
- Сторона нижнего основания — см
- Сторона верхнего основания — см
- Высота — см
Как пользоваться
- — Введите положительные стороны двух квадратных оснований и высоту в сантиметрах.
- — Основания должны быть параллельными, подобными и соосными; высота перпендикулярна им.
- — Основания могут быть указаны в любом порядке: верхнее может быть больше нижнего. Равные стороны здесь отклоняются как случай призмы.
- — Объём показан в см³, поверхности и строка площадей оснований — в см². Для литров разделите см³ на 1000.
Методика и ограничения
- Методика расчёта
- Формула и логика
- Источник данных или нормы
- OpenStax: объём через интегрирование площадей сечений OpenStax: синус и тангенс в прямоугольном треугольнике
- Ограничение
- Квадратные соосные основания, положительные неравные стороны и перпендикулярная высота. Единица ввода фиксирована: сантиметры. Геометрическая формула не включает толщину стенок, расход материалов, армирование или строительные допуски.
FAQ
Почему нельзя взять среднюю площадь и умножить на высоту?
При a = 10, b = 6, h = 8 см средняя площадь даёт 544 см³, а точный геометрический объём — 522,67 см³. Разность h(a−b)²/6 = 21,33 см³ положительна. Сечения между основаниями меньше линейной интерполяции их площадей.
Чем апофема отличается от высоты?
Высота идёт по оси, апофема — по середине боковой грани от кромки до кромки. Апофема всегда длиннее, и именно она нужна, чтобы посчитать площадь боковой грани.
Как считать усечённую пирамиду с прямоугольными основаниями?
Для усечённой пирамиды с подобными параллельными прямоугольными основаниями объём также равен h(S₁+√(S₁S₂)+S₂)/3. Произвольные прямоугольники без общего коэффициента масштаба этим условием не описываются; для поверхности нужны две различные апофемы.
Где встречается такая форма?
Фундаментные подушки, бункеры и воронки, абажуры, а также классическая архитектура — от зиккуратов до постаментов. Объём нужен для бетона, боковая поверхность — для обшивки.