Pyramidenstumpf-Rechner
Volumen, Seitenhöhe und Oberflächen eines quadratischen Pyramidenstumpfs.
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Dieser Pyramidenstumpf hat parallele quadratische Flächen mit gemeinsamer Mittelachse. Beide Seitenlängen und die senkrechte Höhe werden in Zentimetern eingegeben. Die Querschnittsseite ändert sich linear, ihre Fläche quadratisch: V = h(a²+ab+b²)/3. Der Mittelwert der Grundflächen mal Höhe setzt das Volumen um h(a−b)²/6 zu hoch an. Die Seitenhöhe verläuft in der Mitte einer Mantelfläche und unterscheidet sich von der senkrechten Höhe.
So funktioniert es
Formel und Logik
Das Volumen ist V = h ÷ 3 × (a² + a × b + b²) mit den Kantenlängen a und b. Die Seitenhöhe folgt aus dem Satz des Pythagoras über der halben Kantendifferenz: m = √(h² + ((a − b) ÷ 2)²). Die Mantelfläche ist 2 × (a + b) × m, die Gesamtoberfläche zusätzlich um beide Quadrate größer.
Beispiel
Bei a = 10 cm, b = 6 cm und h = 8 cm beträgt das Volumen 522,67 cm³, die Seitenhöhe 8,246 cm, die Mantelfläche 263,88 cm² und die Gesamtoberfläche 399,88 cm². Die Grundflächen sind 100 und 36 cm².
Felder und Einheiten
- Untere Grundkante — cm
- Obere Grundkante — cm
- Höhe — cm
So wird gerechnet
- — Gib positive Seiten der beiden Quadratflächen und die Höhe in Zentimetern ein.
- — Die Flächen müssen parallel, ähnlich und zentriert auf einer Achse liegen; die Höhe steht senkrecht darauf.
- — Beide Größenreihenfolgen sind möglich, auch eine größere obere Fläche. Gleiche Seiten werden hier als Prismafall abgewiesen.
- — Volumen steht in cm³; Oberflächen und beide Grundflächenwerte stehen in cm². Für Liter teile cm³ durch 1000.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Volumen durch Integration der Querschnittsflächen OpenStax: Sinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- Einschränkung
- Quadratische zentrierte Flächen, positive ungleiche Seiten und senkrechte Höhe. Die Eingabeeinheit ist fest: Zentimeter. Die geometrische Formel enthält keine Wandstärke, Materialzugaben, Bewehrung oder Bautoleranzen.
FAQ
Warum steht im Volumen a² + a × b + b²?
Die Querschnittsseite ist a+(b−a)z/h. Das Integral ihres Quadrats über 0 bis h ergibt h(a²+ab+b²)/3. Der einfache Flächenmittelwert ist dagegen um h(a−b)²/6 zu groß; bei 10, 6 und 8 cm sind es 544 statt 522,67 cm³.
Ist die Seitenhöhe dasselbe wie die Höhe?
Nein. Die Höhe steht senkrecht zwischen den beiden Flächen, die Seitenhöhe verläuft in der Mantelfläche schräg nach außen und ist deshalb immer länger.
Was passiert, wenn die Deckfläche null wird?
Im mathematischen Grenzfall b = 0 wird die Formel V = ha²/3 zur vollständigen Pyramide. Diese Seite verlangt jedoch beide Seiten positiv und ungleich; für b = 0 verwende den Pyramidenrechner.
Gilt die Rechnung auch für rechteckige Flächen?
Dieser Rechner setzt quadratische Flächen voraus. Die Volumenformel h(S₁+√(S₁S₂)+S₂)/3 gilt auch für ähnliche parallele Rechtecke, nicht für beliebige Rechtecke ohne gemeinsamen Maßstabsfaktor. Die Oberfläche benötigt zwei verschiedene Seitenhöhen.