Prismenrechner
Volumen und Flächen eines geraden Prismas mit regelmäßiger Grundfläche.
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Ein gerades Prisma mit regelmäßigem Vieleck als Grundfläche wird durch Seitenzahl n, Seitenlänge a und senkrechte Höhe h bestimmt. Die Apothema verläuft von der Mitte zum Seitenmittelpunkt; die Grundfläche ist der halbe Umfang mal Apothema. Rechteckige Seitenflächen ergeben eine Mantelfläche von Grundumfang mal Höhe. Bei n = 4 ist die Grundfläche quadratisch; ein allgemeines Rechteck wird damit nicht beschrieben.
So funktioniert es
Formel und Logik
Apothema = Seite ÷ (2 × tan(π ÷ n)). Grundfläche = Umfang × Apothema ÷ 2. Volumen = Grundfläche × Höhe, und die Mantelfläche ist Umfang × Höhe.
Beispiel
Ein sechsseitiges Prisma mit 4 cm Seite und 10 cm Höhe fasst 415,69 cm³.
Felder und Einheiten
- Längeneinheit — Auswahl aus der Liste
- Seiten der Grundfläche — 1
- Länge einer Grundseite — cm
- Höhe des Prismas — cm
So wird gerechnet
- — Wähle die Längeneinheit für alle Eingaben.
- — Trage ein, wie viele Seiten das Grundvieleck hat.
- — Trage die Länge einer Grundseite ein.
- — Trage die Höhe des Prismas ein.
- — Die Seitenzahl ist ganzzahlig von 3 bis 100, Seite und Höhe sind positiv. Das ist eine Seitengrenze; ein gebrochener Wert wird nicht auf ein anderes Vieleck gerundet.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- OpenStax: Sinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck OpenStax: Körpervolumen und Oberflächen
- Einschränkung
- Die Grundfläche ist regelmäßig, die Seitenkanten stehen senkrecht darauf. Die Oberflächenformeln gelten nicht für ein schiefes Prisma oder ungleiche Grundseiten. Die Einheit legt nur die Bedeutung fest; Eingabezahlen werden nicht umgerechnet.
FAQ
Was macht ein Prisma regelmäßig?
Ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche und Seitenflächen senkrecht dazu. Schiefe Prismen haben dasselbe Volumen, aber eine größere Mantelfläche, und die deckt diese Rechnung nicht ab.
Warum braucht die Grundfläche eine Apothema?
Weil ein regelmäßiges Vieleck von seiner Mitte aus in gleiche Dreiecke zerfällt, jedes mit der Seite als Grundlinie und der Apothema als Höhe. Ihre Summe ergibt Umfang × Apothema ÷ 2.
Ist ein Quader ein Prisma?
Ja, ein Prisma mit vierseitiger Grundfläche. Vier Seiten einzutragen ergibt genau den Fall mit quadratischer Grundfläche, und die Formeln gehen in die vertrauten über.
Was passiert, wenn die Seitenzahl wächst?
Gegenüber einem Kreis mit demselben Umkreisradius beträgt der Flächenanteil sin(2π/n)/(2π/n) und nähert sich 1. Bei n = 100 ist die Differenz etwa 0,0658 %. Wird nur die Seitenlänge festgehalten, ändern sich Radius und Gesamtgröße; das ist ein anderer Vergleich.