Rechner für den Stichprobenumfang
Wie viele Befragte für eine bestimmte Genauigkeit nötig sind.
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Plant die Zahl abgeschlossener Antworten zur Schätzung eines Anteils bei einfacher Zufallsstichprobe. Die Normalapproximation eines Konfidenzintervalls wird umgekehrt: Konfidenzniveau, Fehlergrenze in Prozentpunkten und erwarteter Anteil bestimmen den Umfang. Bei sonst gleichen Einstellungen maximiert p = 50 % das Produkt p·(1−p) und ist innerhalb dieses Modells konservativ. Eine bekannte endliche Population N aktiviert die Korrektur für Ziehen ohne Zurücklegen. Auswahlverzerrung, Nichtantworten und Messfehler werden damit nicht beseitigt; jede Umfrage erhält dadurch keine Qualitätsgarantie.
So funktioniert es
Formel und Logik
n₀ = z²·p·(1−p)/e²; p und e sind in der Formel Anteile, die Eingaben erfolgen in Prozent beziehungsweise Prozentpunkten. Für N > 0 gilt n = N·n₀/(N−1+n₀); die endgültige Anzahl wird aufgerundet. N ist ganzzahlig von 0 bis 9007199254740991. 0 bedeutet unbekannte oder sehr große Population, keine gemessene Größe. Für N = 0 ist der Stichprobenanteil unbekannt und erscheint als Strich. p = 0 oder 1 ergibt formal null: eine entartete Modellannahme, keine Empfehlung für null Antworten. Nahe den Randanteilen muss die Normalapproximation gesondert geprüft werden.
Beispiel
Bei 95 % Konfidenz, 5 Prozentpunkten Fehlergrenze und erwartetem Anteil 50 % wird das unkorrigierte n₀ ≈ 384,1459 auf 385 Antworten aufgerundet. Bei bekanntem N = 500 ergibt die Korrektur ungefähr 217,4872, also 218 Antworten.
Felder und Einheiten
- Konfidenzniveau — Auswahl aus der Liste
- Fehlergrenze, % — ohne Einheit
- Erwarteter Anteil, % — ohne Einheit
- Größe der Grundgesamtheit (0 — unendlich) — ohne Einheit
So wird gerechnet
- — Die Fehlergrenze ist die halbe Intervallbreite: „±3 %“ heißt 3.
- — Ist der erwartete Anteil unbekannt, liefert 50 % die größte Stichprobe innerhalb dieses Normalapproximation-Modells für einen Anteil bei einfacher Zufallsziehung. Das garantiert weder Eignung für jede Studie noch die Beseitigung von Auswahlverzerrungen.
- — Setze die Grundgesamtheit auf null, wenn sie groß oder unbekannt ist — die Korrektur bleibt dann aus.
- — Das Modell setzt eine einfache Zufallsstichprobe voraus. Bei Klumpen-, Quoten- und anderen Verfahren sind Auswahlplan, Designeffekte und Verzerrungen gesondert zu beurteilen; eine allgemeine Regel „mehr Personen nötig“ gilt hier nicht.
Rechenweg und Grenzen
- Rechenweg
- Formel und Logik
- Datenquelle oder Norm
- Penn State STAT 506 §2.3: Umfang für Anteilschätzung, endliche Korrektur und p = 0,5 OpenStax: Normalapproximation für einen Anteil, Planung von n und Aufrunden
- Einschränkung
- Plant die Zahl abgeschlossener Antworten zur Schätzung eines Anteils bei einfacher Zufallsstichprobe. Auswahlverzerrung, Nichtantworten und Messfehler werden damit nicht beseitigt; jede Umfrage erhält dadurch keine Qualitätsgarantie.
FAQ
Warum ist die Stichprobe bei 50 % am größten?
p·(1−p) erreicht bei p = 0,5 das Maximum 0,25. Bei p = 0,1 oder 0,9 beträgt es 0,09: Ohne endliche Korrektur sind 36 % des bisherigen ungerundeten Umfangs nötig, nicht genau ein Drittel. Bei 95 % und fünf Prozentpunkten ergeben sich etwa 139 statt 385 Antworten. Diese Konservativität gilt innerhalb des Modells und schützt nicht vor Umfrageverzerrung.
Warum hängt die Stichprobe kaum von der Stadtgröße ab?
In der unkorrigierten Formel kommt N nicht vor. Ist die Stichprobe gegenüber einem bekannten N beträchtlich und wird ohne Zurücklegen gezogen, senkt die Korrektur die Anzahl: Bei N = 500 ergeben sich 218 statt 385. Es gibt keine universelle exakte Schwelle, ab der die Stadtgröße plötzlich eine Rolle spielt.
Was kostet der Schritt von 95 % auf 99 %?
Ohne endliche Korrektur wächst der Umfang bei festen p und e mit z². Der Schritt von 95 % zu 99 % vervielfacht den ungerundeten Umfang um etwa 1,727. Die halbe Fehlergrenze erfordert dagegen den Faktor 4, also den stärkeren Anstieg. Bei 50 % Anteil und fünf Prozentpunkten ergeben sich gerundet 385 beziehungsweise 664 Antworten.
Deckt das A/B-Tests ab?
Nein: Hier wird die Schätzpräzision eines Anteils geplant. Zum Vergleich zweier Varianten werden eine relevante Effektgröße, Signifikanzniveau, Teststärke und Aufteilung auf die Gruppen benötigt. Ein bloßes Verdoppeln dieses Ergebnisses ist keine A/B-Poweranalyse.